高等代数箴言¶

内容来自蓝以中编著《高等代数简明教程》

1. 运算对象和运算方法的具体内涵是非本质的，关键是他们满足的运算法则，代数学就是研究运算的一门学科，而高等代数是代数学的入门课程。

2. 矩阵乘法实质上就是集合间映射的一种特例。特别的，如果这个乘法是一个集合到自身的映射，那么这个映射总是良好定义的。也就是，对于维度相同的方阵来说，矩阵乘法总是可以进行的，所以方阵称为研究的核心内容之一。 $$ f:(A\in \mathbb{R}^{m\times n},B\in\mathbb{R}^{n\times m})\to C\in\mathbb{R}^{m\times m} $$

3. 行列式可以视作从矩阵映射到实数的一个函数，它满足三个性质：

   • 是列线性函数；
   • 反对称（交换两列之后正负号改变）；
   • 把单位矩阵映为1。

   并且这三个性质也唯一确定了一个函数。从上述三个性质可以推导出行列式其他的性质，例如$A$和$A'$的行列式相同、行列式还是一个反对称行线性函数……。

4. 向量空间的实质是它带有两种运算，并且满足八条法则，其具体的表现形式是非本质的，应予舍弃。

5. 我们一般通过两种方法来研究向量空间：子空间和商空间。子空间的方法就好比我们为了研究一种动物，需要解剖标本了解各种器官；商空间的方法就好比我们为了从整体上全览中国，就需要隐去一些细节，只描绘一些轮廓（各个省份？）。

6. 如果全空间可以分解为两个子空间的和，并且每个向量的分解方式都唯一，此时称这两个子空间的直和构成全空间。类似的，我们可以定义多个子空间的直和。

7. 我们把全空间的向量按照子空间$M$进行分类，取一个代表元素$\alpha$，定义商空间： $$ \alpha+M=\{\alpha+\beta\mid\beta\in M\} $$ （类似于我们把自然数分为奇数和偶数两个类别）

8. 线性映射是两个线性空间之间保持线性空间加法、数乘对应关系的映射。如果这个映射是双射，我们就说这两个空间同构。如果这个映射是从一个线性空间映射到它自身，那么我们称之为线性变换。

9. 如果给线性空间取定一组基底，那么线性映射可以表示为一个矩阵，换言之矩阵就是线性映射在某一个基底下的数量化表示。

10. 已知空间的一个直和分解$V=M\oplus N$，也就是任何一个$V$中的向量$\alpha$都可以唯一分解为$\alpha_1+\alpha_2$，那么映射 $$ \alpha \to \alpha_1 $$ 就是一个$V$对子空间$M$的投影。特别的，如果是正交直和分解，就称为正投影。

    （对于任何一个子空间，一定存在补空间使得他们的直和是全空间，所以投影只对一个子空间谈论，不需要对某个直和分解谈论）

11. 矩阵的相似关系是一个等价关系，它描述的是同一个线性变换在不同基底下矩阵表示的不变性。

12. $n$阶方阵$A$可以对角化等价于：

    1. 矩阵对应的线性变换$f$在某一组基底下表现为对角矩阵；
    2. 矩阵有$n$个线性无关的特征向量；
    3. 矩阵的所有特征子空间的直和为全空间；
    4. 对于$f$的任一不变子空间$M$，$f$在$M$上的限制$f\mid_M$的矩阵可以对角化。

13. 并非所有矩阵都可以对角化，有的时候可以把矩阵化为准对角形（分块对角矩阵）。

    为此我们引入不变子空间的概念：如果一个线性变换把子空间映射为子空间本身，那么这个子空间称为线性变换的不变子空间。

    那么矩阵可以准对角化等价于矩阵的所有不变子空间的直和为全空间，这和前面的结论是高度相似的。

    更近一步，如果线性变换在每个子空间上的限制的矩阵都可以对角化，那么原来的矩阵就可以对角化。

14. 线性变换$f$，和它在一个子空间$M$上的限制$g$，以及商空间$V/M$的诱导变换$h$。这三个线性变换的特征多项式满足一下关系： $$ f(\lambda)=g(\lambda)h(\lambda) $$ 从这一命题可见商空间的和多项式除法的某种联系。

15. 利用上一个命题，我们可以证明如果数域$K$上一个线性变换的特征值全部在数域$K$中，那么存在某一组基底，使得线性变换在这组基底下称为上三角矩阵。

16. 矩阵的合同关系是一个等价关系，它描述的是同一个双线性函数在不同基底下矩阵表示的不变性。

17. 对称双线性函数对应一个对称矩阵，对称双线性函数也称为二次型。

18. 实对称矩阵的全系不变量是它的正负惯性指数，酉矩阵的全系不变量是它的秩。换言之，通过区分正负惯性指数的不同我们可以区别不同的实二次型（实数域上的双线性函数），通过区分秩我们可以区分不同的复二次型（复数域上的双线性函数）。

19. 内积也是一个双线性函数，可以表示为一个二次型，对应的矩阵称为度量矩阵。定义了内积的实线性空间称为欧氏空间。

    （有内积的复空间称为酉空间，酉空间和欧式空间统称为内积空间）

20. 正交矩阵是两组标准正交基之间的过渡矩阵。正交变换不改变向量的内积。

21. 正交变换、对称变换的不变子空间的正交补依然是一个不变子空间。

22. 酉变换是正交变换在复数域的推广，厄米特变换是对称变换在复数域的推广。

23. 正规变换指的是与其共轭变换可交换的变换。22，23提到的四个变换都是正规变换。正规变换有如下性质：

    （1）不同特征值的特征向量相互正交

    （2）存在一个标准正交基，使得矩阵成对角形（换言之正规矩阵可以酉对角化）

24. 幂零矩阵（$A^m=O$）的特征值都是0，幂零矩阵可以定义一个由$a$生成的循环不变子空间： $$ I(a)=\mathrm{span}\{a,Aa,\cdots,A^{k-1}a\} $$ 那么在上面这组基底下，该幂零线性变换称为一个Jordan形矩阵。

    可以证明：一个幂零线性变换可以在某个基底下成为Jordan矩阵的充分必要条件是它的循环不变子空间的直和是全空间，换言之所谓的Jordan标准型就是这个变换在循环不变子空间的基底下的一个表示。

25. 数域$\mathbb{K}$上的一个方阵，如果特征值全部属于$\mathbb{K}$，那么该方阵相似于一个Jordan矩阵（Jordan矩阵实际上就是在每一个特征值对应的根子空间（也是一种不变子空间）上找基底，最后组成全空间的基底，在这个基底下原来线性变换的矩阵表示就是Jordan标准型；更简洁地说就是全空间的根子空间直和分解）。

    这里我们总结一下各种对角化（或者说是空间分解）

    1. （真）对角化：数域$\mathbb{K}$上一个矩阵可以对角化，意味着全空间可以直和分解为它的特征子空间。
    2. （假）对角化：数域$\mathbb{K}$上一个矩阵可以化为Jordan标准型，意味着全空间可以直和分解为它的根子空间。
    3. （准）对角化：数域$\mathbb{K}$上一个矩阵可以化为准对角矩阵，意味着全空间可以直和分解为它的不变子空间。

    显然，上述三种对角化是层层放宽条件的，对角矩阵是一个Jordan标准矩阵，而Jordan标准矩阵又是一个准对角分块矩阵。如此我们知道，特征子空间是根子空间，而根子空间又是不变子空间。

26. 最小多项式是特征多项式的一个因式，每个根的重数与Jordan标准型中对应的Jordan块的最高阶数对应。

27. 正交矩阵$A$的行列式为1（此时对应一个旋转变换）的充分必要条件是存在一个反对称矩阵$S$使得 $$ A=e^{S} $$

至此高等代数的第一部分（讨论线性变换）就结束了，第二部分（讨论一元、多元多项式环等）我没看，就不再继续写了。