随机变量的函数¶

题目¶

存疑¶

有这样一种做法¶

显然$X$仅在$(0,1)$上有密度累计，于是考虑$y(x)=-\ln F(x),x\in (0,1),y\in (0,\ln4)$的逆变换，$x(y)=(4e^{-y}-1)/3$，那么$Y$在$(0,\ln4)$密度函数为 $$ \begin{aligned} g(y)&=f(x(y))\left|\frac{dx(y)}{dy}\right|\\ &=\frac{dF(x)}{dx}\mid_{x=x(y)}\times\left|\frac{dx(y)}{dy}\right|\\ &=\frac{3}{4}\times\frac{4}{3}e^{-y}\\ &=e^{-y} \end{aligned} $$ 于是$Y$的分布函数为： $$ G_Y(y)= \begin{aligned} \begin{cases} &0&y<0\\ &\int_{0}^{y}g(y)dy&0\leq y<\ln4\\ &1&y\geq\ln4 \end{cases} \end{aligned} $$ 计算得： $$ G_Y(y)= \begin{aligned} \begin{cases} &0&y<0\\ &1-e^{-y}&0\leq y<\ln4\\ &1&y\geq\ln4 \end{cases} \end{aligned} $$ 虽然这样做出来的答案是正确的，但是过程非常糟糕。我们没有讨论任何的边界情况，仅仅是随意地给他们赋了值。另外这种求逆变换、导数的方法实际上只适用于连续随机变量，我们后续会说明$X$并非连续随机变量。

还有另外一种做法¶

我们避开$Y$的密度函数，直接用定义求$Y$的分布函数： $$ \begin{aligned} &G_Y(y)\\ =&P(Y\leq y)\\ =&P(-\ln F(X)\leq y)\\ =&\begin{cases} \begin{aligned} &0&y<0\\ &P(X\ge \frac{4e^{-y}-1}{3})&0\leq y<\ln4\\ &1&y\geq\ln4 \end{aligned}\end{cases}\\ =&\begin{cases} \begin{aligned} &0&y<0\\ &1-P(0 \le X < \frac{4e^{-y}-1}{3})&0\leq y<\ln4\\ &1&y\geq\ln4 \end{aligned}\end{cases} \end{aligned} $$ 其中： $$ \begin{aligned} &P(0 \le X < \frac{4e^{-y}-1}{3})\\ =&\int_{0}^{\frac{4e^{-y}-1}{3}}\frac{3}{4}dx=e^{-y}-\frac{1}{4} \end{aligned} $$ 于是 $$ G_Y(y)= \begin{cases} \begin{aligned} &0&y<0\\ &\frac{5}{4}-e^{-y}&0\leq y<\ln4\\ &1&y\geq\ln4 \end{aligned} \end{cases} $$ 这里得出的答案就显然不正确了，$G_Y(y)$在$0$处取到了大于$1$的值。错误的关键就在于 $$ P(0 \le X < \frac{4e^{-y}-1}{3})\ne\int_{0}^{\frac{4e^{-y}-1}{3}}\frac{3}{4}dx $$ 这是由于$X$并非连续随机变量，在$0$这一点处有异常的概率累计。

正确的计算应该是： $$ \begin{aligned} &P(0 \le X < \frac{4e^{-y}-1}{3})\\ =&P(X \le \frac{4e^{-y}-1}{3})\\ &-P(X=\frac{4e^{-y}-1}{3})\\ &-P(X\le 0)+P(X=0)\\ \\ =&F(\frac{4e^{-y}-1}{3})-0-F(0)\\ &+\left[F(0)-\lim_{x\to 0^-}F(x)\right]\\ \\ =&e^{-y} \end{aligned} $$ 这样就可以导出正确的答案。

分析¶

这个题目的关键在于$X$并不是连续的随机变量，因为$X$的分布函数$F(x)$在$x=0$这一点不连续，可一个连续随机变量的分布函数应该是处处连续的；

或者从另外一个角度也可以得到同样的结论，考虑$X$落在$0$ 这一点的概率： $$ \begin{aligned} &P(X=0)\\ =&F(0)-\lim_{x\to 0-}F(x)\\ =&\frac{1}{4}-0\\ =&\frac{1}{4} \end{aligned} $$ 而一个连续随机变量落在一个单独点的概率是$0$，所以$X$不是连续随机变量。

进而$X$根本不存在密度函数（这个概念是对于连续随机变量而言的），这题在求$Y$的分布函数时不能简单的使用随机变量的变换（求逆变换，然后求导数尔尔）来求，而应该从定义出发： $$ \begin{aligned} &G_Y(y)\\ =&P(Y\leq y)\\ =&P(-\ln F(X)\leq y) \end{aligned} $$

正解¶

具体做法如下： $$ \begin{aligned} G_Y(y)=&P(Y\leq y)=P(-\ln F(X)\leq y)\\ =&P(F(X)\geq e^{-y})\quad\text{(#)}\\ \\ &\text{(全概率)}\\ =&P(F(X)\geq e^{-y}\mid X<0)\\ &+P(F(X)\geq e^{-y}\mid X>1)\\ &+P(F(X)\geq e^{-y}\mid 0\leq X\leq 1)\\ =&P(0\geq e^{-y}\mid X<0)\\ &+P(1\geq e^{-y}\mid X>1)\\ &+P(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}X\geq e^{-y}\mid 0\leq X\leq 1)\\ \\ &\text{(前两项为0)}\\ =&P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4})\mid 0\leq X\leq 1)\\ \\ &\text{(条件概率)}\\ =&\frac{P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}), 0\leq X\leq 1)}{P(0\leq X\leq 1)}\\ =&P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}), 0\leq X\leq 1)\end{aligned} $$

其实这题可以直接看出$G_Y(y)=P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}), 0\leq X\leq 1)$, 可以直接写，条件概率的推导过程只是为了说的更清楚也更具有一般性, 另外这里特别要注意(#)式中的$X$是一个随机变量，不可以简单的带入$F(x)$，应该从概率事件的角度来理解。

以下分情况讨论：

$1^o$¶

当$0\le y < \ln4$时，$0 < e^{-y}-\frac{1}{4}\le1$ $$\begin{aligned} &P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}), 0\leq X\leq 1)\\ =&P(\frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4})\leq X\leq1)\\ =&F(1)-F(\frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}))\\ =&1-e^{-y}\end{aligned}$$ $y=\ln4$不放入此情况是因为$y=\ln4$时$P(0\leq X\leq 1)$中间存在$F(x)$的不连续点$0$，形式不统一故单独讨论。

$2^o$¶

当$y<0$时，$e^{-y}-\frac{1}{4}> 1$ $$ \begin{aligned} &P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}), 0\leq X\leq 1)\\ =&P(\emptyset)\\ =&0 \end{aligned} $$

$3^o$¶

当$y>\ln4$时，$e^{-y}-\frac{1}{4}< 0$ $$ \begin{aligned} &P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}), 0\leq X\leq 1)\\ =&P(\frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4})\leq X\leq 1)\\ =&1 \end{aligned} $$

$4^o$¶

当$y=\ln4$时，$e^{-y}-\frac{1}{4}=0$ $$ \begin{aligned} &P(X\geq \frac{4}{3}(e^{-y}-\frac{1}{4}), 0\leq X\leq 1)\\ =&P(0\leq X\leq 1)\\ =&1 \end{aligned} $$ 综上所述: $$ G_Y(y)= \begin{cases} \begin{aligned} &0&y<0\\ &1-e^{-y}&0\leq y<\ln4\\ &1&y\geq\ln4 \end{aligned} \end{cases} $$

此致。