旋转不变随机向量¶

题目似乎是2022复旦432的考研题

题解¶

题目描述了一个旋转不变的随机向量，注意题目并未明确随机变量是连续的还是离散的。

一个比较奇怪的条件是 $$ P(X=Y=0)=0 $$ 实际上这个条件是为了排除(0,0)单点概率累积这一分布，下面我们正式来解这个题目。

（1）¶

不妨设$(X,Y)'$的联合分布为$F$

那么所求概率为下述区域（注意不含顶点和边界）上的概率累计 $$ D_1=\left\{(x,y):0<y<x\right\} $$

也即 $$ P(0<Y<X)=\int_{D_1}\mathrm{d}F $$

那么根据旋转不变的特性，如果旋转$\pi/4$就有 $$ \left[\begin{array}{l}U \\ V\end{array}\right]= \begin{pmatrix} \sqrt2\over2& \sqrt2\over2\\ -\sqrt2\over2& \sqrt2\over2 \end{pmatrix}\left[\begin{array}{l}X \\ Y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\frac{\sqrt2}{2}(X+Y) \\ \frac{\sqrt2}{2}(-X+Y)\end{array}\right] $$ 和 $$ \left[\begin{array}{l}X \\ Y\end{array}\right] $$ 同分布，那么 $$ \begin{aligned} &P(0<Y<X)\\ =&P(0<V<U)\\ =&P(0<-X+Y<X+Y)\\ =&P(0<X<Y) \end{aligned} $$ 也就是下图的蓝色区域和红色区域概率相等 $$ D_2=\{(x,y):0<x<y\} $$

$$ \int_{D_2}dF=\int_{D_1}dF $$

那么依此类推，通过旋转 $i\pi/4\quad i=1,2,\cdots,8$，我们可以说明 $$ \int_{D_1}dF=\int_{D_2}dF=\cdots=\int_{D_8}dF $$ 其中$D_i$是逆时针第$i$个$1/8$平面（不包括原点以及分割线）

并且对于任何一条过原点的直线$L$ $$ \int_LdF = P(Y=kX)=\delta=0 $$ 否则，我们总可以通过旋转很小的角度（$\epsilon$），构造足够多的线（$N$个）使得 $$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^N \int_{L_i}dF\\ =&\int_{\cup L_i}dF-(N-1)P(X=Y=0)\\ =&\int_{\cup L_i}dF\\ =&N\delta>1 \end{aligned} $$ 推出矛盾，其中 $$ N=\lceil\frac{1}{\delta}\rceil\quad\epsilon=\lfloor\frac{2\pi}{N}\rfloor $$ 那么 $$ 1=\int_{R^2}dF=8\int_{D_1}dF+4\times0+0 $$ 上式是因为平面可以划分为不相交的以下区域

• 八个$1/8$平面：$D_i\quad i=1,2,\cdots,8$
• 四条线：$y=\pm x\quad x=0 \quad y=0$，注意这四条线都需去掉原点
• 原点：$(0,0)$

于是所求概率 $$ P(0<Y<X)=\int_{D_1}\mathrm{d}F=\frac{1}{8} $$ 注：虽然写起来啰嗦了一点，但实际上只要理解了旋转不变的特性，这题可以很快反应过来所求的概率就是$1/8$。但是需要注意区域边界以及原点的处理，如何说明过原点的线上概率累计为0也是一个重点。

（2）¶

这题只需要说明在一个夹角为$\theta$扇形区域内概率累计为$\theta/2\pi$即可

利用旋转不变的特性，我们把绿色的区域逆时针旋转$\theta$ 可以得到恰好不相交的灰色区域

以此类推，直到所有的扇形区域夹角加起来恰好是$2\pi$的整数倍。

如果类似$\theta=\pi/3$，则很容易可以做到上述过程，但是如果类似$\theta=1$，则无论旋转多少圈都无法凑出$2\pi$的整数倍。

Box–Muller transform和这个结论有些神似，不过Box–Muller的目的是用独立的均匀分布生成独立的标准正态分布，读者有兴趣可以看一眼。

不得不说，复旦这个题还是非常有意思的。