导数漫谈¶

导数就是线性近似！！

一阶导数¶

一元数值函数¶

$$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ 对于这样的函数，如果存在一个常数$a\in \mathbb{R}$使得 $$ f(x_0+t) = f(x_0)+a \cdot t+o(t) $$ 我们就说$a=f'(x_0)$是$f$在$x_0$处的导数。

多元数值函数¶

$$ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $$ 对于这样的函数，如果存在一个常向量$a\in \mathbb{R}^n$使得 $$ f(x_0+h) = f(x_0)+ \langle a,h \rangle +o(\lVert h \rVert_2) $$ 我们就说$a=\nabla f(x_0)$是$f$在$x_0$处的导数（也常称为梯度）。

多元向量值函数¶

$$ F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $$ 对于这样的函数，如果存在一个常矩阵$A\in \mathbb{R}^{m\times n}$使得 $$ F(x_0+h) = F(x_0)+ Ah +o(\lVert h \rVert_2) $$ 我们就说$A=\mathrm{J} F(x_0)$是$F$在$x_0$处的导数（也常称为Jacobi矩阵）。

至此矩阵完美地诠释了线性近似这一想法。

半正定锥上的导数¶

$$ G: \mathbb{R}^n \to \mathcal{S}^p $$ 这类函数就有些特殊了，陪域$\mathcal{S}^p$是一个特殊的线性空间。

例如 $$ G(x,y) = \begin{pmatrix} x^2&2&1\\ 2&y^3&\cos x\\ 1&\cos x&xy \end{pmatrix} $$

我们照葫芦画瓢给出一个定义：

若存在$A\in \mathrm{L}(\mathbb{R}^n, \mathcal{S}^p)$（有界线性算子）满足 $$ G(x_0+h)=G(x_0)+A(h)+o(\lVert h \rVert_2) $$ 我们就说$A=\mathrm{D}G(x_0)$是$G$在$x_0$处的导数。

Fréchet导数¶

二阶导数¶

复合导数¶

TBC:导数