中等数学复健¶

数学水平是灵感、技巧和学识的累乘，然而技巧和学识都是会遗忘的

题目¶

$$ f(x)=\frac{1}{\cos(x)}+\frac{1}{\cos(\pi/3-x)} $$ 求上述函数的最小值，其中$x\in (0,\pi/2)$

图解¶

最直观的解法就是画个图看看：

不难发现最小值就在$x=\pi/6$的时候取到最小值$f(\pi/6)=4/\sqrt{3}$

灵感¶

其实不需要精确的作图就可以知晓这个函数的大概形状。 $$ f(x)=\frac{1}{\cos(x)}+\frac{1}{\cos(\pi/3-x)} $$ 不难发现这个函数是关于$x=\pi/6$对称的，例如$x=0$和$x=\pi/3$的取值是完全相同的。

而且，在$x>\pi/6$的时候，随着$x$的增大，$1/\cos x$不断增大，$1/\cos(\pi/3-x)$不断减小。可以想象，前者增大的幅度是超过后者的（因为在反比例函数中，靠近0的地方是很陡峭的，远离0的地方是很平缓的）。

所以，我们就可以大胆论断，$x=\pi/6$就是原函数的最小值点。

技巧¶

稍带技巧的解法是： $$ y=\frac{1}{\cos(x)}+\frac{1}{\cos(\pi/3-x)} $$ 中，做换元$x=\pi/6-t$，$t\in (-\pi/3,\pi/6)$。

得到： $$ y=\frac{1}{\cos(\pi/6-t)}+\frac{1}{\cos(\pi/6+t)} $$

所以 $$ \begin{aligned} y&=\frac{1}{\cos(\pi/6-t)}+\frac{1}{\cos(\pi/6+t)}\\ &=\frac{\cos(\pi/6-t)+\cos(\pi/6+t)}{\cos(\pi/6-t)\cos(\pi/6+t)}\\ &=\frac{\sqrt{3}\cos t}{(\sqrt{3}/2\cos t)^2-(1/2\sin t)^2}\\ &=\frac{\sqrt{3}\cos t}{\cos^2t-0.25}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{\cos t-0.25/\cos t} \end{aligned} $$ 显然 $$ g(s)=\frac{\sqrt{3}}{s-0.25/s} $$ 是关于$s$单调减的。

所以当且仅当$t=0$时，$s=\cos t$取最大值$1$，原函数$y=g(\cos t)$取到最小值。

也即是$x=\pi/6$时原函数取到最小值$4/\sqrt{3}$。

这个解法当中第一步的换元操作是至关重要的。这么换是为了增加函数的对称性。

学识¶

如果读者有微积分的背景，那么这题也是易如反掌。 $$ y=\frac{1}{\cos(x)}+\frac{1}{\cos(\pi/3-x)} $$ 只需要求它的导数： $$ y'=\frac{\sin x}{\cos^2x}-\frac{\sin(\pi/3-x)}{\cos^2(\pi/3-x)} $$ 令导数为0，可以得到极值点的方程： $$ \sin x\cos^2(\pi/3-x)=\cos^2x\sin(\pi/3-x) $$ 不难得到在$(0,\pi/2)$上有唯一的极值点$x=\pi/6$，并且在它的左侧导数小于0，在它的右侧导数大于0，从而这就是所求函数的最小值点。

结语¶

这样看来，这道题也不是那么难。如果是高三那会儿，训练足够、手感正热应该是很轻松可以做出来的。但不巧的是，我时年22，已经是闲置大学生一枚。手感不热、训练不足。所以做这道题还是花了不少功夫，实在是惭愧。